Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x^{2} + y^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + y^{2} + 4]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + y^{2} + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.3

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.5

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 x - 2 y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = 2 x - 2 y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} - 2 x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} - 2 x y$ вместо $N$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $2 y$ и $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x + 2 y$ и $x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x - 2 y)$ в виде $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 x^{2} + y^{2} + 4$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $3 x^{2} + y^{2} + 4$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} - 2 x y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} - 2 x y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Этап 8.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Этап 8.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Этап 8.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

Этап 8.6

Поскольку $\frac{2}{x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{2}{x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Этап 8.7

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

Этап 8.8

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.9

Упростим.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Этап 8.10.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Этап 8.10.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Этап 8.10.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

По правилу суммы производная $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y^{2}}{x}$ по $x$ равна $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.3.5

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.5.2.2

Добавим $0$ и $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2} + y^{2} + 4)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2}) - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} + 0 - 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Чтобы записать $\frac{d g}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.2

Приравняем числитель к нулю.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 12.1.3

Решим уравнение относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 4 = 3 x^{2}$

Этап 12.1.3.1.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$

Этап 12.1.3.2

Разделим каждый член $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1

Разделим каждый член $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ на $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Этап 12.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Этап 12.1.3.2.2.1.2

Разделим $\frac{d g}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Этап 12.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Этап 12.1.3.2.3.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$

Этап 13

Найдем первообразную $3 + \frac{4}{x^{2}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int 3 d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 13.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = 3 x + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 13.5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 13.6

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 13.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 13.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{- 2} d x$

Этап 13.8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 (- x^{- 1} + C)$

Этап 13.9

Упростим.

$g (x) = 3 x + 4 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 13.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$g (x) = 3 x - 4 \frac{1}{x} + C$

Этап 13.10.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = 3 x + \frac{- 4}{x} + C$

Этап 13.10.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (x) = 3 x - \frac{4}{x} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + 3 x - \frac{4}{x} + C$