Математический анализ Примеры

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (2 x y + x)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x y + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.4

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.7

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 0$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 x = 0$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- (2 x y + x)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- (2 x y + x)$ вместо $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $0$ и $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Этап 5.3.5

Подставим $- (2 x y + x)$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Этап 6.4

Пусть $u = 2 y + 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Дифференцируем $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Этап 6.4.1.2

По правилу суммы производная $2 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 6.4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 6.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 6.4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 6.4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.4.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 6.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Этап 6.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Этап 6.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 6.9

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 6.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Этап 6.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Упростим $- \ln (| 2 y + 1 |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Этап 6.11.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Этап 6.11.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{2 y + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- (2 x y + x)$ на $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $- 2 x y - x$ на $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $- 2 y - 1$ и $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.6.4

Перепишем $- (2 y + 1)$ в виде $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.6.5

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Этап 7.6.6

Разделим $x \cdot (- 1)$ на $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Этап 7.7

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Этап 7.8

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

Этап 7.9

Умножим $y$ на $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Этап 7.10

Объединим $y$ и $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = - x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int x d x$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 12.3

Поскольку $- \frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 12.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{y}{2 y + 1}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Этап 13.3

Разделим $y$ на $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Этап 13.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 13.3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Этап 13.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Этап 13.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Этап 13.3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Этап 13.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Этап 13.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Этап 13.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Этап 13.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Этап 13.8

Избавимся от скобок.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Этап 13.9

Пусть $u = 2 y + 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1.1

Дифференцируем $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Этап 13.9.1.2

По правилу суммы производная $2 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 13.9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 13.9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 13.9.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 13.9.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 13.9.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 13.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 13.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 13.10.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Этап 13.10.3

Умножим $2$ на $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 13.11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 13.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 13.13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Этап 13.14

Упростим.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Этап 13.15

Заменим все вхождения $u$ на $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Этап 15.1.3

Умножим $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

Изменим порядок $\ln (| 2 y + 1 |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Этап 15.1.3.2

Упростим $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Этап 15.2

Чтобы записать $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 15.3

Объединим $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Умножим $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Этап 15.5.1.2

Упростим $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Этап 15.5.2

Перемножим экспоненты в ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 15.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 15.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 15.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$