Математический анализ Примеры

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x + 4 y - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

Этап 2.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Умножим $x + 4 y - 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

Этап 2.3.8.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x + 4 y - 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x + 4 y - 2$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = 2 x + 4 y - 2$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x + 4 y - 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x (x + 4 y - 2)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x (x + 4 y - 2)$ вместо $N$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $- x - 4 y + 2$ и $x + 4 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y$ .

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (4 y)$ .

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.6

Перепишем $- (x + 4 y - 2)$ в виде $- 1 (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.7

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Этап 4.3.3.8

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x}$

Этап 4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| x |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y + 1$ на $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x y + 1$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x (x + 4 y - 2)$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x + 4 y - 2$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Этап 8.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

Этап 8.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

Этап 8.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

Этап 8.7

Упростим.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.4.2

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.6.1.2

Добавим $y$ и $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 11.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{x y + 1}{x}$ на две дроби.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Этап 12.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Этап 12.1.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $y + \frac{1}{x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

Этап 12.1.3.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$