Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \ln (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x \ln (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int x \ln (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$x^{2} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Этап 7.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Этап 7.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Этап 7.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Этап 7.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Этап 7.4.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x)$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.6.2.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.6.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Этап 7.6.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 7.6.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 7.6.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 8.1.2

Избавимся от скобок.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Разделим $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x)) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.2

Упростим $\frac{1}{2} (\ln (x))$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{4}$ в числитель.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$