Математический анализ Примеры

$x d x + y d y = 0$

Этап 1

Подставим $y d$ вместо $yd$ .

$x d x + y d y = 0$

Этап 2

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$y d y = - x d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - x d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Этап 3.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 3.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 4.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$