Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3 y - 1$

Этап 1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 x - 1$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 3 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 3 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 3 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- 3 x}$ в виде $- e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 3 x} y = \int 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{- 3 x} y = \int 2 x e^{- 3 x} d x + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 \int x e^{- 3 x} d x + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.4.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.4.3

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.6.2

Умножим $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ на $1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.8

Пусть $u_{1} = - 3 x$ . Тогда $d u_{1} = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Пусть $u_{1} = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 7.8.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 7.8.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 7.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.9.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.12.2

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.13

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- 3 x} d x$

Этап 7.14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- 3 x} d x$

Этап 7.15

Пусть $u_{2} = - 3 x$ . Тогда $d u_{2} = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Пусть $u_{2} = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 7.15.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.15.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 7.15.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 7.15.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Этап 7.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.16.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Этап 7.16.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 7.17

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 7.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.18.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 7.18.2

Умножим $\int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$ на $1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 7.19

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.20

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 7.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.21.1

Упростим.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.21.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.21.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.21.2.2

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{x}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.21.2.3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.22

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.22.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.22.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Этап 7.23

Изменим порядок членов.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) + \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} \cdot x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Этап 8.1.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Этап 8.1.3

Объединим $e^{- 3 x}$ и $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$ на $e^{- 3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$ на $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{e^{- 3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{e^{- 3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{e^{- 3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.2

Умножим $2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{- 2 \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x e^{- 3 x}}{3}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 (x e^{- 3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.3

Умножим $2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{\frac{- 2 (x e^{- 3 x})}{3} - 2 \frac{e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{- 3 x}}{9}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 (x e^{- 3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.2.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.3

Чтобы записать $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Умножим $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.6

Добавим $- 2 e^{- 3 x}$ и $e^{- 3 x} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.1

Изменим порядок $e^{- 3 x}$ и $3$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x} + 3 \cdot e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.6.2

Добавим $- 2 e^{- 3 x}$ и $3 \cdot e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Чтобы записать $- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.2.1

Умножим $\frac{2 x e^{- 3 x}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{9} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 + e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.4.1

Вынесем множитель $e^{- 3 x}$ из $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 + e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.4.1.1

Вынесем множитель $e^{- 3 x}$ из $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3) + e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.4.1.2

Умножим на $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3) + e^{- 3 x} \cdot 1}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.4.1.3

Вынесем множитель $e^{- 3 x}$ из $e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3) + e^{- 3 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3 + 1)}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.4.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1)}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.5

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.6

Объединим $C$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1) + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x) + e^{- 3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.8.3

Умножим $e^{- 3 x}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.7.8.4

Перенесем $9$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9}}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.9

Умножим $\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9}$ на $\frac{1}{e^{- 3 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 e^{- 3 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x) + e^{- 3 x} + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x) - 1 (- e^{- 3 x}) + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 e^{- 3 x} x) - 1 (- e^{- 3 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}) + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.13

Вынесем множитель $- 1$ из $9 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}) - (- 9 C)}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}) - (- 9 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.1

Перепишем $- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)$ в виде $- 1 (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Этап 8.2.3.15.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C}{9 e^{- 3 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} - 9 C}{9 e^{- 3 x}}$