Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x e^{- 2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (x e^{- 2 y})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{- 2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $e^{- 2 y}$ из $x e^{- 2 y}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- 2 y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{2 y}$ на $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = 2 y$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 y} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{2 y} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 y} = x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y = \ln (x^{2} + 2 K)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y = \ln (x^{2} + 2 K)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} + 2 K)}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} + 2 K)}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{2} + 2 K)}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\ln (x^{2} + K)}{2}$