Математический анализ Примеры

$(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1 - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2} y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{2} y$ по $y$ равна $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2}$

Этап 1.4

Вычтем $x^{2}$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} (y - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} (y - x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [y - x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $y - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- 1 \cdot 1) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \cdot - 1 + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.6.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) (2 x)$

Этап 2.3.8

Перенесем $2$ влево от $y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 \cdot (y - x) x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (2 y + 2 (- x)) x$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x + 2 (- x) x$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x \cdot x$

Этап 2.4.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x)$

Этап 2.4.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x^{1})$

Этап 2.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{1 + 1}$

Этап 2.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{2}$

Этап 2.4.3.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 y x$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 3 x^{2} + 2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 3 x^{2} + 2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} (y - x)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} (y - x)$ вместо $N$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2}) - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - 2 (x y)}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $- x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x (x - y)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x^{2} (y - x)}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (x - y)}{x (y - x)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x - y$ и $y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - y)}{x (y - x)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - (y))}{x (y - x)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (y - x)}$

Этап 4.3.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $1 - x^{2} y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(1 - x^{2} y) \frac{1}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $1 - x^{2} y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} (y - x)$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + (y - x) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = y - x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Этап 8.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Этап 8.4

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.2.2

Поскольку $\frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Вычтем $y$ из $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 11.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Этап 12.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Этап 12.1.2.2.1.2

Разделим $- 1 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Этап 12.1.2.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 12.1.3.2

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{2}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 13.3

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 13.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Этап 13.6

Перепишем $- x^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$