Математический анализ Примеры

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $3 + 3 x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.4

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

Этап 2.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = 3$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{3 - 1}{y}$

Этап 4.3.2

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Этап 5.4.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Этап 6.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $3 + 3 x - y$ на $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

Этап 6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

Этап 6.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = y^{3}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y^{3} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{3} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11.3.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $3 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $3 x y^{2}$ и $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

Этап 12.1.2.2

Вычтем $3 y^{2} x$ из $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

Этап 12.1.2.3

Добавим $3 y^{2} - y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

Этап 13

Найдем первообразную $3 y^{2} - y^{3}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Этап 13.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

Этап 13.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

Этап 13.7

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Этап 13.8

Упростим.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.9.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.2.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.9.2.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 13.9.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15

Объединим $y^{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$