Математический анализ Примеры

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - x}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x + x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x + x y$ вместо $M$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2 + y}$

Этап 4.3.5

Подставим $2 x + x y$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

Этап 5.2

Пусть $u = 2 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Пусть $u = 2 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Дифференцируем $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Этап 5.2.1.2

По правилу суммы производная $2 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 5.2.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 5.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 5.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 5.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 5.5

Заменим все вхождения $u$ на $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- \ln (| 2 + y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{2 + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x + x y$ на $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x + x y$ на $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Этап 6.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x d x + y d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y$ на $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

Этап 6.6

Объединим $y$ и $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Этап 11.3

Поскольку $\frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Этап 12

Найдем первообразную $\frac{y}{2 + y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Этап 12.3

Изменим порядок $2$ и $y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

Этап 12.4

Разделим $y$ на $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

Этап 12.4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

Этап 12.4.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

Этап 12.4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 2$ .

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

Этап 12.4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

Этап 12.4.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

Этап 12.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Этап 12.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Этап 12.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

Этап 12.8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

Этап 12.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

Этап 12.10

Пусть $u = y + 2$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.1

Пусть $u = y + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.1.1

Дифференцируем $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Этап 12.10.1.2

По правилу суммы производная $y + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 12.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 12.10.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.10.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 12.12

Упростим.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

Этап 12.13

Заменим все вхождения $u$ на $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Этап 14

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Этап 14.1.2

Упростим $- 2 \ln (| y + 2 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

Этап 14.1.3

Уберем знак модуля в ${| y + 2 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

Этап 14.2

Чтобы записать $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 14.3

Объединим $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

Этап 14.5.1.2

Упростим $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

Этап 14.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

Этап 14.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$