Математический анализ Примеры

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ на $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x y}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{x}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $x$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 2.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Этап 2.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Этап 2.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Этап 2.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Этап 2.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Этап 2.2.4

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x + \ln (x - 1)}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{x}{x - 1}$ и $y$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.2.2

Объединим $e^{x + \ln (x - 1)}$ и $\frac{x y}{x - 1}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.3

Чтобы записать $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x - 1)}$ из $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x - 1)}$ из $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x - 1)}$ из $e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x - 1)}$ из $e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.5.4

Перепишем $- 1 \frac{d y}{d x}$ в виде $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Этап 3.6

Умножим $e^{x + \ln (x - 1)}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

Этап 3.6.2

Объединим противоположные члены в $x + \ln (x - 1) - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

Этап 3.6.2.2

Добавим $0$ и $\ln (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

Этап 3.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Этап 3.8

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Этап 7.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Этап 7.4

Упростим.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ на $e^{x + \ln (x - 1)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ на $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.3.1.3

Объединим.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$