Математический анализ Примеры

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ на $4 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ на $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{y}{4 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{y}{4 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Этап 1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Этап 1.2.4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Этап 1.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Этап 1.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Этап 1.2.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Этап 1.2.4.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y x$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $(y + 1) (y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = (y + 1) (y - 1)$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = (y + 1) (y - 1)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y + 1$ и $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.4.2

Умножим $y + 1$ на $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.2.1.3.5

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Этап 2.2.2.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Этап 2.2.2.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Этап 2.2.2.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.3.8.2

Умножим $y - 1$ на $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Этап 2.2.2.1.3.8.3

Добавим $y$ и $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Этап 2.2.2.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 y + 0$

Этап 2.2.2.1.3.8.4.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$