Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1 + x}{x}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x y}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 3.3

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Этап 3.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$