Математический анализ Примеры

$2 x y y' = 1 + y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ на $2 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ на $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Этап 2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Этап 2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Этап 2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x}$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $\frac{y}{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{y}{2 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{2 x y}$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Умножим обе части на $\frac{2 y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{1 + y^{2}}{2 y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y x$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Перепишем уравнение.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.2

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 3.2.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 3.2.2.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 3.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 4.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$

Этап 4.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

Этап 4.4

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}$

Этап 4.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$

Этап 4.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 4.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 4.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + y^{2} | = e^{C} | x |$

Этап 4.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x |$ .

$| 1 + y^{2} | = | x | e^{C}$

Этап 4.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | x | e^{C}$

Этап 4.5.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x | e^{C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{C} | x |$

Этап 4.5.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

Этап 4.5.4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

Этап 5.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C | x | - 1}$