Математический анализ Примеры

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $4 x y + 3 y^{2} - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4 x$ является константой относительно $y$ , производная $4 x y$ по $y$ равна $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4 x + 6 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Этап 3.3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $x + 2 y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Этап 3.3.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $4 x + 6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x + 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $4 x + 6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $2 x + 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x (x + 2 y)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x (x + 2 y)$ вместо $N$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.4

Вычтем $2 x$ из $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.5

Вычтем $2 y$ из $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.6

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Этап 6.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Этап 6.4.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $4 x y + 3 y^{2} - x$ на $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x (x + 2 y)$ на $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Этап 7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Этап 7.7

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Этап 7.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $3$ и $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Этап 7.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Этап 9.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Этап 9.3

Поскольку $2 x^{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 x^{3}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Этап 9.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 9.5

Упростим.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Этап 9.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Этап 9.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Этап 9.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Этап 9.6.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{4} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.3.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{3} y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.4.3

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 12.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $4 x^{3} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Этап 13.1.2

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 13.1.3

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Вычтем $4 x^{3} y$ из $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 13.1.3.2

Добавим $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 13.1.3.3

Изменим порядок множителей в членах $3 y^{2} x^{2}$ и $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 13.1.3.4

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Этап 13.1.3.5

Добавим $- x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Этап 14

Найдем первообразную $- x^{3}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 14.5

Перепишем $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ в виде $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 16

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$