Математический анализ Примеры

$(x^{3} + y^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Этап 2.2

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{2} y$ по $y$ равна $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.4

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Этап 3.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x^{2} = 3 x^{2}$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- x^{2} = 3 x^{2}$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3 x^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- x^{2} y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- x^{2} y$ вместо $M$ .

$\frac{3 x^{2} - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2} - - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 - - x^{2}}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- - x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 - - 1)}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 + 1)}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot 4}{- x^{2} y}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{- 1 y}$

Этап 5.3.4

Подставим $- x^{2} y$ вместо $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 4 \ln (| y |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- x^{2} y$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- x^{2} y \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y$ .

$y (- x^{2}) \frac{1}{y^{4}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{4}$ .

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

$y (- x^{2}) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

$- x^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{y^{3}}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x^{3} + y^{3}$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + (x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x^{3} + y^{3}$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{4}} d y = 0$

Этап 7.6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} d x + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int \frac{x^{2}}{y^{3}} d x$

Этап 9.2

Поскольку $\frac{1}{y^{3}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y^{3}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x)$

Этап 9.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \int x^{2} d x$

Этап 9.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $- \frac{1}{y^{3}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 9.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3 y^{3}} x^{3} + C$

Этап 9.5.2.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- \frac{x^{3}}{3}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ по $y$ равна $- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{3}}$ в виде ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{3}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.7

Умножим $y^{- 6}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- \frac{x^{3}}{3} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.9

Объединим $3$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.10

Объединим $\frac{3 x^{3}}{3}$ и $y^{- 4}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{- 4}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.11

Перенесем $y^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{3}}{3 y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.3.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{3}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вычтем $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{4}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Развернем $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.6.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.9

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.10

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.10.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.10.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.10.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.4

Объединим противоположные члены в $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.4.1

Изменим порядок множителей в членах $x^{2} y$ и $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.4.2

Вычтем $x^{2} y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.4.3

Добавим $- x^{3} - x y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.4.4

Изменим порядок множителей в членах $- x y^{2}$ и $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.4.5

Добавим $- y^{2} x$ и $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.4.6

Добавим $- x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Вычтем $y^{3}$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{3}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Этап 13.1.1.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3} \cdot - 1}{y^{3} y} = 0$

Этап 13.1.1.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Этап 13.1.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Этап 13.1.2

Добавим $\frac{1}{y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Этап 14

Найдем первообразную $\frac{1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 14.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + \ln (| y |) + C$