Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $f (4) = 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.1.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $4$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2^{1} + K = 1$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$2 \cdot 2 + K = 1$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + K = 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - 4$

Этап 4.3.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$K = - 3$

Этап 5

Подставим $- 3$ вместо $K$ в $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - 3$