Математический анализ Примеры

$y (x + 9) + \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x + y \cdot 9 + \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.2

Перенесем $9$ влево от $y$ .

$y x + 9 y + \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $y x$ из обеих частей уравнения.

$9 y + \frac{d y}{d x} = - y x$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $9 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - y x - 9 y$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y x - 9 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) - 9 y$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 9 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x) + y \cdot - 9$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 x) + y \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- 1 x - 9)$

Этап 1.2.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (- x - 9)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (- x - 9))$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 9$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (- x - 9) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x - 9 d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x - 9 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x + \int - 9 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x + \int - 9 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x + C}$ в виде $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} - 9 x}$