Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y^{3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (8 x^{3} y^{3})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y^{3}} (x^{3} y^{3})$

Этап 1.2.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{3}} (x^{3} y^{3})$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x^{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{3}} (y^{3} x^{3})$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{3}} (y^{3} x^{3})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 8 x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 8 \int x^{3} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ в виде $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x^{4} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y^{2}$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x^{4} + K$ умножим на $2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x^{4} + K$ на $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = 2 x^{4} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 2 \cdot 2 x^{4} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 1 = 4 x^{4} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $4 x^{4} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $4 x^{4} y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x^{4}) + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x^{4}) + 2 y^{2} K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} (2 x^{4}) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (2 x^{4} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 y^{2} (2 x^{4} + K) = - 1$ на $2 (2 x^{4} + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 y^{2} (2 x^{4} + K) = - 1$ на $2 (2 x^{4} + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 (2 x^{4} + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 (2 x^{4} + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 x^{4} + K} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2 x^{4} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (2 x^{4} + K)}{2 x^{4} + K} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x^{4} + K)}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

Этап 3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

Этап 3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x^{4} + K)}}$