Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель ${(1 - 3 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - 3 y$ . Тогда $d u = - 3 d y$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - 3 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 3 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 y$ по $y$ равна $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $3$ влево от $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перепишем $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1})$ в виде $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 3 y$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 (1 - 3 y), 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 (1 - 3 y)$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ умножим на $3 (1 - 3 y)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ на $3 (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} (3 (1 - 3 y)) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.2.3

Сократим общий множитель $1 - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 3 \ln (| x |) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.2

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) \cdot 1 + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $\ln ({| x |}^{3})$ на $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - 3 \ln ({| x |}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.6.1

Упростим $- 3 \ln ({| x |}^{3})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({({| x |}^{3})}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.6.2

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{3 \cdot 3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.6.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Этап 3.2.3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C (1 - 3 y)$

Этап 3.2.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C \cdot 1 + 3 C (- 3 y)$

Этап 3.2.3.1.9

Умножим $3$ на $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 C (- 3 y)$

Этап 3.2.3.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 \cdot - 3 C y$

Этап 3.2.3.1.11

Умножим $3$ на $- 3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $\ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$ .

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) = - 3 C + 9 C y + 1$

Этап 3.3.3

Вычтем $9 C y$ из обеих частей уравнения.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1$

Этап 3.3.4

Вычтем $\ln ({| x |}^{3})$ из обеих частей уравнения.

$- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Этап 3.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- 9 C y$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Этап 3.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C)$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Этап 3.3.6

Перепишем $- 1 \ln ({| x |}^{9})$ в виде $- \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Этап 3.3.7

Разделим каждый член $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ на $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Разделим каждый член $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ на $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

$\frac{y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C)}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.1

Сократим общий множитель $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 3 C + 1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 C$ .

$y = \frac{- (3 C) + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C) - 1 (- 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 C) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})$ .

$y = \frac{- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.7

Перепишем $- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ в виде $- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Этап 3.3.7.3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 C$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)}$

Этап 3.3.7.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Этап 3.3.7.3.2.10

Перепишем $- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ в виде $- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Этап 3.3.7.3.2.11

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Этап 3.3.7.3.2.12

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + 9 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + C}$