Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ в виде $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Этап 3.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

Этап 3.2.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

Этап 3.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

Этап 3.3.3

Перенесем $- 4 y$ .

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Этап 3.3.4

Изменим порядок $y^{2}$ и $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 6 x^{2} - 2 K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 6 x^{2} - 2 K$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 K$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Перепишем $- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ в виде $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$