Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y}{x}$

Этап 1.1.3.2

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y \cdot \frac{y + 1}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Объединим $- y$ и $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{- y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y \cdot y - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - (y \cdot y) - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.4.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.4.4

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2} + 0}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.4.5

Добавим $- 1 - y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - (y^{2})}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1 + y^{2})}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{1 + y^{2}}{y + 1}}{x}$

Этап 1.1.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.1.3.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{x (y + 1)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (- \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ в числитель.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем множитель $y + 1$ из $(y + 1) x$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) (x)}$

Этап 1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Этап 1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Этап 1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разобьем дробь $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ на две дроби.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 2.2.3.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.3.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.3.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 2.2.3.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \arctan (y) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) = - \ln (| x |) + C$