Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 5 \sec^{2} (x - 2)$ , $y (2) = - 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - 5 \sec^{2} (x - 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 5 \sec^{2} (x - 2) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 5 \sec^{2} (x - 2) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 5 \int \sec^{2} (x - 2) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - 5 \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 2.3.3

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = - 5 (\tan (u) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = - 5 \tan (u) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$y + C_{1} = - 5 \tan (x - 2) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - 5 \tan (x - 2) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $- 1$ вместо $y$ в $y = - 5 \tan (x - 2) + K$ .

$- 1 = - 5 \tan (2 - 2) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 \tan (2 - 2) + K = - 1$ .

$- 5 \tan (2 - 2) + K = - 1$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- 5 \tan (2 - 2) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$- 5 \tan (0) + K = - 1$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- 5 \cdot 0 + K = - 1$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 + K = - 1$

Этап 4.2.1.3

Добавим $0$ и $K$ .

$K = - 1$

Этап 5

Подставим $- 1$ вместо $K$ в $y = - 5 \tan (x - 2) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 1$ вместо $K$ .

$y = - 5 \tan (x - 2) - 1$