Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(x^{2} + x)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x}$

Этап 1.2.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (x + 1)}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.5.1.2

Разделим $A (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.5.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.5.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Этап 2.3.1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Этап 2.3.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.3.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 2.3.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Этап 2.3.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Этап 2.3.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Этап 2.3.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 2.3.1.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 2.3.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1$

Этап 2.3.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1$

Этап 2.3.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 2.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) - \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.3.8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{| x |}{| x + 1 |}}) = C$

Этап 3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| y | (\frac{| x + 1 |}{| x |})) = C$

Этап 3.4

Умножим $| y | \frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $| y |$ и $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y | | x + 1 |}{| x |}) = C$

Этап 3.4.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |})} = e^{C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y (x + 1) |}{| x |}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 3.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Упростим $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 3.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y (x + 1) | = e^{C} | x |$

Этап 3.7.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y x + y \cdot 1 | = e^{C} | x |$

Этап 3.7.3.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$| y x + y | = e^{C} | x |$

Этап 3.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x |$ .

$| y x + y | = | x | e^{C}$

Этап 3.7.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm | x | e^{C}$

Этап 3.7.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x | e^{C}$ .

$y x + y = \pm e^{C} | x |$

Этап 3.7.4.4

Вынесем множитель $y$ из $y x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Этап 3.7.4.4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Этап 3.7.4.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{C} | x |$

Этап 3.7.4.4.4

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$

Этап 3.7.4.5

Разделим каждый член $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.5.1

Разделим каждый член $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ на $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Этап 3.7.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.5.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Этап 3.7.4.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm C | x |}{x + 1}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C | x |}{x + 1}$