Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $6 x - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 6 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 6 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

По правилу суммы производная $6 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.3.2.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3.3.2

Объединим $u$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Перепишем $- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.8.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим ${(6 - x^{2})}^{2}$ и $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $K$ и $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2.2.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $8$ влево от $K$ .

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

Этап 3.2.2.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

Этап 3.2.2.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $8 K$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

Этап 3.2.2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Этап 3.2.2.1.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.4.1

Перепишем $- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ в виде $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Этап 3.2.2.1.5.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем ${(6 - x^{2})}^{2}$ в виде $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.2

Развернем $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.3.2

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Этап 3.4.4

Перепишем $- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ в виде ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

Этап 3.4.4.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Этап 3.4.4.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Этап 3.4.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Этап 3.4.4.6

Добавим круглые скобки.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Этап 3.4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Этап 3.4.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Этап 3.4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$