Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4} + y^{4}}{x y^{3}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{x^{4} + y^{4}}{x y^{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{x^{4} + y^{4}}{x y^{3}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4}}{x y^{3}} + \frac{y^{4}}{x y^{3}}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x y^{3}} + \frac{y^{4}}{x y^{3}}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x (y^{3})} + \frac{y^{4}}{x y^{3}}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x y^{3}} + \frac{y^{4}}{x y^{3}}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{4}}{x y^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ и $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3} y}{x y^{3}}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3} y}{y^{3} x}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3} y}{y^{3} x}$

Этап 1.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{x^{3}}{y^{3}}$ в виде ${(\frac{x}{y})}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y})}^{3} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{3} + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(V^{- 1})}^{3} + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = {(V^{- 1})}^{3} + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(V^{- 1})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1 \cdot 3} + V$

Этап 6.1.1.1.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 3} + V$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V^{3}} + V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} + V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{V^{3}} + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $\frac{1}{V^{3}}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V^{3}}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V^{3}}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V^{3}}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Объединим.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{V^{3} x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3} x}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $V^{3}$ .

$V^{3} \frac{d V}{d x} = V^{3} (\frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Объединим.

$V^{3} \frac{d V}{d x} = V^{3} \frac{1 \cdot 1}{V^{3} x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $V^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $V^{3}$ из $V^{3} x$ .

$V^{3} \frac{d V}{d x} = V^{3} \frac{1 \cdot 1}{V^{3} (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$V^{3} \frac{d V}{d x} = V^{3} \frac{1 \cdot 1}{V^{3} x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$V^{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Этап 6.1.4.3

Умножим $1$ на $1$ .

$V^{3} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$V^{3} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int V^{3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $V^{3}$ по $V$ имеет вид $\frac{1}{4} V^{4}$ .

$\frac{1}{4} V^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} V^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} V^{4} = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} V^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} V^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $V^{4}$ .

$4 \frac{V^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{V^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$V^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Этап 6.3.3

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$V^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Этап 6.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Этап 6.3.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$V = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 6.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$V = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 6.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$V = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 6.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$V = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$V = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$V = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$V = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$V = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$V = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$V = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$V = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$V = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}, - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$

Этап 8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 9.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$

Этап 9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$

Этап 9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$

Этап 10

Перечислим решения.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x, y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C} x$