Математический анализ Примеры

$(1 + y^{3}) d x + x y^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + y^{3}) d x$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} d y = - (1 + y^{3}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (1 + y^{3})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{3})} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{3})} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (1 + y^{3})} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{3}} y^{2} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{1 + y^{3}}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{1 + y^{3}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{1^{3} + y^{3}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.3.3.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{1}{x (1 + y^{3})} (- (1 + y^{3})) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = - \frac{1}{x (1 + y^{3})} (1 + y^{3}) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (1 + y^{3})}$ в числитель.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{x (1 + y^{3})} (1 + y^{3}) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $1 + y^{3}$ из $x (1 + y^{3})$ .

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{3}) x} (1 + y^{3}) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{3}) x} (1 + y^{3}) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Тогда $d u = 3 y^{2} d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Этап 4.2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 1 + y$ и $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - y + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.3.8

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 4.2.1.1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 4.2.1.1.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Этап 4.2.1.1.3.12

Умножим $1 - y + y^{2}$ на $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.9

Добавим $- y$ и $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.11

Добавим $y + 2 y^{2}$ и $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.12

Вычтем $y$ из $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.13

Добавим $2 y^{2}$ и $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Этап 4.2.1.1.4.4.14

Добавим $2 y^{2}$ и $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Развернем $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.2

Умножим $- y$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.6.1

Перенесем $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.7.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.7.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.2.1

Объединим противоположные члены в $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.2.1.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2.1.2

Добавим $1 + y^{2}$ и $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2.1.3

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\ln (| 1 + y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = 3 C$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\ln (| 1 + y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| 1 + y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = 3 C$

Этап 5.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}) = 3 C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{3 C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}) = 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = | 1 + y^{3} | {| x |}^{3}$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$

Этап 5.7.2

Разделим каждый член $| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$ на ${| x |}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Разделим каждый член $| 1 + y^{3} | {| x |}^{3} = e^{3 C}$ на ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.7.2.2.1.2

Разделим $| 1 + y^{3} |$ на $1$ .

$| 1 + y^{3} | = \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} = \pm \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Этап 5.7.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\pm \frac{e^{3 C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \sqrt[3]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$