Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 7 \cos (x) \sec (y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (7 \cos (x) \sec (y))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sec (y)} \cos (x) \sec (y)$

Этап 1.2.2

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \cos (x) \sec (y)$

Этап 1.2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 (1 \cos (y)) \cos (x) \sec (y)$

Этап 1.2.4

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (y) \cos (x) \sec (y)$

Этап 1.2.5

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (y) \cos (x) \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $7 \cos (y) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (y) (7 \cos (x)) \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (y) (7 \cos (x)) \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 7 \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 7 \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 7 \cos (x) d x$

Этап 2.2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int 7 \cos (x) d x$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int 7 \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int 7 \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\sin (y) + C_{1} = 7 \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\sin (y) + C_{1} = 7 (\sin (x) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\sin (y) + C_{1} = 7 \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $7 \sin (x) + K = \sin (y)$ .

$7 \sin (x) + K = \sin (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$7 \sin (x) = \sin (y) - K$

Этап 3.3

Разделим каждый член $7 \sin (x) = \sin (y) - K$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $7 \sin (x) = \sin (y) - K$ на $7$ .

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = \frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7})$

Этап 3.5

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$ .

$\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$

Этап 3.6

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sin (y)$ из арксинуса.

$\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7} = \sin (x)$

Этап 3.7

Добавим $\frac{K}{7}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Этап 3.8

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.9

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Упростим $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.9.2.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.9.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Этап 3.10

Изменим порядок $7 \sin (x)$ и $K$ .

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Этап 3.11

Добавим $\frac{K}{7}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Этап 3.12

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.13

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.13.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Упростим $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.13.2.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.13.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Этап 3.14

Изменим порядок $7 \sin (x)$ и $K$ .

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Этап 3.15

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (K + 7 \sin (x))$

Этап 3.16

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$

Этап 3.17

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sin (y)$ из арксинуса.

$\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7} = \sin (x)$

Этап 3.18

Добавим $\frac{K}{7}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Этап 3.19

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.20

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.20.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.20.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1

Упростим $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.20.2.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.20.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Этап 3.21

Изменим порядок $7 \sin (x)$ и $K$ .

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Этап 3.22

Добавим $\frac{K}{7}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

Этап 3.23

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.24

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.24.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

Этап 3.24.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.2.1

Упростим $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.24.2.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.24.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

Этап 3.24.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

Этап 3.25

Изменим порядок $7 \sin (x)$ и $K$ .

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

Этап 3.26

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (K + 7 \sin (x))$