Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель $10 + 4 \sin (t)$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.1.2.4

Разделим $x (5 + 2 \sin (t))$ на $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ в виде $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$