Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Этап 3.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Этап 3.5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Этап 3.6

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Этап 3.7

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Этап 3.8

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Этап 3.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Этап 3.10

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Этап 3.11

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$