Математический анализ Примеры

$x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ на $x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ на $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1 + x^{2}}{x}$ на $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{y x}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{y x}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})}{x}$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})}{x}$

Этап 1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x^{2}}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Этап 2.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Этап 2.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Этап 2.3.3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = x^{2} + 2 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = x^{2} + 2 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = x^{2} + 2 C$

Этап 3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = x^{2} + 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = x^{2} + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Этап 3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Этап 3.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Этап 3.7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C}$

Этап 3.7.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Этап 3.7.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{x^{2} + C} - 1}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{x^{2} + C}$ в виде $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} (e^{x^{2}} e^{C}) - 1}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} (e^{C} e^{x^{2}}) - 1}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} e^{x^{2}} - 1}$