Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Этап 3.4.5

Объединим $2$ и $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.8.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.8.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Этап 3.4.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 3)$ , рассмотрим $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $3$ вместо $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Этап 6.2

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.1.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Этап 6.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Этап 6.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Этап 6.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 K}$ в виде ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Упростим ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Этап 6.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Этап 6.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Упростим.

$6 K = 9^{2}$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$6 K = 81$

Этап 6.4.3

Разделим каждый член $6 K = 81$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим каждый член $6 K = 81$ на $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Этап 6.4.3.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Этап 6.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Сократим общий множитель $81$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Этап 6.4.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Этап 6.4.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Этап 6.4.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$K = \frac{27}{2}$

Этап 7

Подставим $\frac{27}{2}$ вместо $K$ в $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{27}{2}$ вместо $K$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Чтобы записать $x^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Этап 7.2.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Этап 7.2.4

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Этап 7.2.5

Объединим $6$ и $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Этап 7.2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Сократим выражение $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Этап 7.2.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Этап 7.2.6.1.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Этап 7.2.6.1.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Этап 7.2.6.2

Разделим $3 (2 x^{3} + 27)$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$