Математический анализ Примеры

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Этап 1.2

Поскольку $\sin (3 x)$ является константой относительно $y$ , производная $\sin (3 x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Этап 2.2

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y \cos^{3} (3 x)$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.5.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.6.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6.3

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Этап 2.6.5

Умножим $- 18$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Этап 4.3

Подставим $2 y \cos^{3} (3 x)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 y \cos^{3} (3 x)$ вместо $N$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Этап 4.3.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Этап 4.3.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ и $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $\cos^{2} (3 x)$ и $\cos^{3} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (3 x)$ из $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (3 x)$ из $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 4.3.6

Разделим дроби.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 4.3.7

Переведем $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Этап 4.3.8

Разделим $9$ на $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Этап 5.2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 5.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Этап 5.3

Объединим $\tan (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Этап 5.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Этап 5.5.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Этап 5.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Этап 5.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Этап 5.5.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Этап 5.6

Интеграл $\tan (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Этап 5.7

Упростим.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Этап 5.8

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Этап 5.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Упростим $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Этап 5.9.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\sec^{3} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\sin (3 x)$ на $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.2

Выразим $\sec (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.5

Объединим $\sin (3 x)$ и $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.6

Вынесем множитель $\cos (3 x)$ из $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.7

Разделим дроби.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.8

Переведем $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.10

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.11

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.12

Умножим $2 y \cos^{3} (3 x)$ на $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Этап 6.13

Выразим $\sec (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Этап 6.14

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Этап 6.15

Сократим общий множитель $\cos^{3} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.15.1

Вынесем множитель $\cos^{3} (3 x)$ из $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Этап 6.15.2

Сократим общий множитель.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Этап 6.15.3

Перепишем это выражение.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Этап 6.16

Единица в любой степени равна единице.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Этап 6.17

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 2 y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 11.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 12

Найдем первообразную $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Этап 12.3

Пусть $u_{2} = \sec (3 x)$ . Тогда $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Пусть $u_{2} = \sec (3 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Дифференцируем $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 12.3.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 12.3.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 12.3.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 12.3.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12.3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 12.3.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.3.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Этап 12.3.1.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Этап 12.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 12.4

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Этап 12.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 12.6

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 12.7

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 12.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 12.8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 12.9

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Этап 14

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$