Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y - 1$ из $(y - 1) x$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y (y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y (y - 2)$ . Тогда $d u = (2 y - 2) d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y (y - 2)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $y - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.6.1

Умножим $y - 2$ на $1$ .

$y + y - 2$

Этап 2.2.1.1.3.6.2

Добавим $y$ и $y$ .

$2 y - 2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$