Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d t} = \frac{2900}{1 + 0.25 t}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d P = \frac{2900}{1 + 0.25 t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d P = \int \frac{2900}{1 + 0.25 t} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$P + C_{1} = \int \frac{2900}{1 + 0.25 t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2900$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2900$ из-под знака интеграла.

$P + C_{1} = 2900 \int \frac{1}{1 + 0.25 t} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + 0.25 t$ . Тогда $d u = 0.25 d t$ , следовательно $\frac{1}{0.25} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + 0.25 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{0.25}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $0.25$ на $1$ .

$0.25$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$P + C_{1} = 2900 \int \frac{4}{u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$P + C_{1} = 2900 (4 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.4

Умножим $4$ на $2900$ .

$P + C_{1} = 11600 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$P + C_{1} = 11600 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$P + C_{1} = 11600 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 0.25 t$ .

$P + C_{1} = 11600 \ln (| 1 + 0.25 t |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$P = 11600 \ln (| 1 + 0.25 t |) + C$