Математический анализ Примеры

$(y + \sin (x)) d y + (y \cos (x) - 2 x) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(y \cos (x) - 2 x) d x + (y + \sin (x)) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y \cos (x) - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) - 2 x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y \cos (x) - 2 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\cos (x)$ является константой относительно $y$ , производная $y \cos (x)$ по $y$ равна $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\cos (x)$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $y + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \cos (x)$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\cos (x)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\cos (x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\cos (x) = \cos (x)$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + \sin (x) d y$

Этап 6

Проинтегрируем $N (x, y) = y + \sin (x)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int y d y + \int \sin (x) d y$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int \sin (x) d y$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \sin (x) y + C$

Этап 6.4

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.2.2

Поскольку $\frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\sin (x) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Добавим $0$ и $y \cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Этап 9.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = y \cos (x) - 2 x$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вычтем $y \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$

Этап 10.1.2

Объединим противоположные члены в $y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вычтем $y \cos (x)$ из $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Этап 10.1.2.2

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Этап 11

Найдем первообразную $- 2 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Этап 11.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Этап 11.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 11.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Этап 11.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Этап 11.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 11.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 11.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Этап 11.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Этап 13

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Этап 13.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + y \sin (x) - x^{2} + C$