Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $2 y - 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (y) + 2 (- 1)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

Этап 1.2.2

Умножим $2 y - 2$ на $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $2 y - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Этап 1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Этап 1.2.4.2

Разделим $3 x^{2} + 4 x + 2$ на $1$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

Этап 3.1.3

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

Этап 3.1.4

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.4

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.6

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.7

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5.8

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.6

Перепишем $4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ в виде $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$