Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(1 + x^{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.8

Изменим порядок $1$ и $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.9

Избавимся от скобок.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Этап 1.10

Перенесем $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3.2

Чтобы записать $\frac{C}{1 + x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (1 + x^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{C}{1 + x^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(1 + x^{2}) \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Этап 6.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Этап 6.3.5

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$