Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{- 2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{- 2} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{- 2}}{3} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 2.3.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 u} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 (3 x + 2)} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{3 (3 x + 2)} + K$