Математический анализ Примеры

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} = 6 y - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6 y$ из обеих частей уравнения.

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ на $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{3 x - 1}$

Этап 1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1.7

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 6 y}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{3 x - 1} y = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 6}{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 6}{3 x - 1} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$e^{- (6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x}$

Этап 2.2.5

Пусть $u = 3 x - 1$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u = 3 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.5.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.2.5.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u}$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u}$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 u} d u}$

Этап 2.2.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)}$

Этап 2.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 6$ .

$e^{\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.8.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.8.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Этап 2.2.10

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.11

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$e^{- 2 \ln (| 3 x - 1 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (3 x - 1)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln ({(3 x - 1)}^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(3 x - 1)}^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- \frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{6}{3 x - 1}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{6 y}{3 x - 1}$ на $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.5.2

Умножим $3 x - 1$ на ${(3 x - 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $3 x - 1$ на ${(3 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $3 x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - 10 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.4

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ из ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] d x = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \int \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Этап 7.2

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - (10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x)$

Этап 7.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Этап 7.4

Пусть $u = 3 x - 1$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Пусть $u = 3 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Дифференцируем $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 7.4.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 7.4.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 7.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $\frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}} \cdot 3} d u$

Этап 7.5.2

Перенесем $3$ влево от $u^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{3 u^{\frac{8}{3}}} d u$

Этап 7.6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u)$

Этап 7.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 10$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{- 10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Этап 7.7.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Этап 7.7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Вынесем $u^{\frac{8}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 7.7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 7.7.2.2.2

Умножим $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.2.2.1

Объединим $\frac{8}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u$

Этап 7.7.2.2.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 8}{3}} d u$

Этап 7.7.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{- \frac{8}{3}} d u$

Этап 7.8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{8}{3}}$ по $u$ имеет вид $- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перепишем $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$ в виде $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Этап 7.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}$ на $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{5}{3}} \cdot 5}) + C$

Этап 7.9.2.2

Перенесем $5$ влево от $u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5 \cdot u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Этап 7.9.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = 1 (\frac{10}{3}) \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 7.9.2.4

Умножим $\frac{10}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 7.9.2.5

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10 \cdot 3}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Этап 7.9.2.6

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Этап 7.9.2.7

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 7.9.2.8

Вынесем множитель $15$ из $30$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 7.9.2.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.9.1

Вынесем множитель $15$ из $15 u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 (u^{\frac{5}{3}})} + C$

Этап 7.9.2.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 7.9.2.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{u^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 7.10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вычтем $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = C$

Этап 8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - C = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель ${(3 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} {(3 x - 1)}^{2} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Сократим общий множитель ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ из ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 8.4.2.1.3

Изменим порядок $2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ и $C {(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = C {(3 x - 1)}^{2} + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем ${(3 x - 1)}^{2}$ в виде $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$y = C ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.2

Развернем $(3 x - 1) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = C (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = C (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y = C (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$y = C (9 x^{2} - 6 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = C (9 x^{2}) + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 9 C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8.5.5.3

Умножим $C$ на $1$ .

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$