Математический анализ Примеры

$x d x + (y - 2) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$(y - 2) d y = - x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - 2 d y = \int - x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int - x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int - x d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int - x d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 3.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $\frac{x^{2}}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} = K$

Этап 3.3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} - 4 y + x^{2} + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 4 y + x^{2} - 2 K = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 4 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Этап 3.4.4

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = x^{2} - 2 K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $x^{2} - 2 K$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Перепишем $- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$