Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 \sqrt{x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 3 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 3 \sqrt{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int \sqrt{x} d x$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{\frac{3}{2}} + K$