Математический анализ Примеры

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x - x y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x - x y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1 - y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- y + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - y + 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - y + 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- y + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- y + 0}{y}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- y$ и $0$ .

$\frac{- y}{y}$

Этап 4.3.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- y}{y}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - 1 d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y$ на $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x - x y + 2$ на $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = y e^{- y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y e^{- y} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y e^{- y} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = e^{- y}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- y$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- y}$ .

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.9

Перепишем $- 1 e^{- y}$ в виде $- e^{- y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.3.10

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $x y e^{- y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

Этап 12.1.2

Вычтем $x e^{- y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Добавим $- x y e^{- y}$ и $x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

Этап 12.1.3.2

Добавим $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

Этап 12.1.3.3

Вычтем $x e^{- y}$ из $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

Этап 12.1.3.4

Добавим $2 e^{- y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

Этап 13

Найдем первообразную $2 e^{- y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

Этап 13.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

Этап 13.4

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 13.4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 13.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 13.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 13.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

Этап 13.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

Этап 13.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

Этап 13.8

Упростим.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

Этап 13.9

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

Этап 15

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$