Математический анализ Примеры

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d z}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ на $u$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ на $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d z}{d u}$ на $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Этап 1.1.2.3.2

Чтобы записать $- z$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.1

Объединим $- z$ и $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.4.1

Вынесем множитель $z$ из $z - z (1 - z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.4.1.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $z$ из $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.1.3

Вынесем множитель $z$ из $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.1.4

Вынесем множитель $z$ из $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.4

Умножим $- - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.4.2

Умножим $z$ на $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.4.6

Добавим $0$ и $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.5.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.5.2

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Этап 1.1.2.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Этап 1.1.2.3.7

Умножим $\frac{z^{2}}{1 - z}$ на $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Этап 1.1.2.3.8

Изменим порядок множителей в $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{z^{2}}{1 - z}$ на $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $1 - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $1 - z$ из $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $z^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $z^{- 2}$ на $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.3.2

Умножим $z$ на $z^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Перенесем $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.3.2.2

Умножим $z^{- 2}$ на $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.3.2.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $z^{- 2}$ по $z$ имеет вид $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.7

Интеграл $z^{- 1}$ по $z$ имеет вид $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.2.8

Упростим.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$