Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $2 y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{3} d y = \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{3} d y = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 6 - x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 6 d x + \int - x^{2} d x)$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} + \int - x^{2} d x)$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - \int x^{2} d x)$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}))$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{4} = 4 (3 x + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{2 \cdot 3} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{6} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} = 4 (3 x) + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$y^{4} = 12 x + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{6}$ в числитель.

$y^{4} = 12 x + 4 \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y^{4} = 12 x + 2 (2) \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.4

Сократим общий множитель.

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.5

Перепишем это выражение.

$y^{4} = 12 x + 2 \frac{- x^{3}}{3} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{- x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{2 (- x^{3})}{3} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{- 2 x^{3}}{3} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{4} = 12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 4 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $4 K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $6 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $6 x$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3 - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x \cdot 3 - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $6$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 3.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Объединим $2 K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3})}$

Этап 3.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x (18 - x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x \cdot 18 + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.2

Перенесем $18$ влево от $x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x - x \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x^{1}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{2 + 1} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.7.5

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}}$

Этап 3.4.8

Объединим $2$ и $\frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$

Этап 3.4.9

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$

Этап 3.4.10

Умножим $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 3.4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 3.4.11.2

Возведем $\sqrt[4]{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 3.4.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Этап 3.4.11.4

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Этап 3.4.11.5

Перепишем ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 3.4.11.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 3.4.11.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Этап 3.4.11.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Этап 3.4.11.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Этап 3.4.11.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Этап 3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Перепишем ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Этап 3.4.12.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{27}}{3}$

Этап 3.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K) \cdot 27}}{3}$

Этап 3.4.13.2

Умножим $27$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$