Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3}}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 20 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $77 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $77$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{3}}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

Этап 1.1.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

Этап 1.1.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20 x}{77 y}) + \frac{y}{x}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{20 x}{77 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Этап 1.3

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{20 x}{77 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{20 x}{77 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Этап 1.3.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{20}{77}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{x}{y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Умножим $V^{- 1}$ на $V^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 1 - 1}) + V$

Этап 6.1.1.1.1.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 2}) + V$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{1}{V^{2}}) + V$

Этап 6.1.1.1.3

Объединим.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20 \cdot 1}{77 V^{2}} + V$

Этап 6.1.1.1.4

Умножим $20$ на $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20}{77 V^{2}} + V$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $- \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $- \frac{20}{77 V^{2}}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{20}{77 V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{x (77 V^{2})}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Перенесем $77$ влево от $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x V^{2}}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Этап 6.1.4.2

Объединим.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Вынесем множитель $V^{2}$ из $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

Этап 6.1.4.3.2

Вынесем множитель $V^{2}$ из $77 x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

Этап 6.1.4.3.3

Сократим общий множитель.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

Этап 6.1.4.3.4

Перепишем это выражение.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20 \cdot 1}{77 x}$

Этап 6.1.4.4

Умножим $20$ на $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$V^{2} d V = - \frac{20}{77 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{20}{77 x} d x$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $V^{2}$ по $V$ имеет вид $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{20}{77 x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{20}{77 x} d x$

Этап 6.2.3.2

Поскольку $\frac{20}{77}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{20}{77}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\frac{20}{77} \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 6.2.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$V^{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Объединим $\ln (| x |)$ и $\frac{20}{77}$ .

$V^{3} = 3 (- \frac{\ln (| x |) \cdot 20}{77} + C)$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Перенесем $20$ влево от $\ln (| x |)$ .

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77} + C)$

Этап 6.3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77}) + 3 C$

Этап 6.3.2.2.1.3

Умножим $3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$V^{3} = - 3 \frac{20 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{20 \ln (| x |)}{77}$ .

$V^{3} = \frac{- 3 (20 \ln (| x |))}{77} + 3 C$

Этап 6.3.2.2.1.3.3

Умножим $20$ на $- 3$ .

$V^{3} = \frac{- 60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Этап 6.3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V^{3} = - \frac{60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Этап 6.3.3

Упростим $60 \ln (| x |)$ путем переноса $60$ под логарифм.

$V^{3} = - \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C$

Этап 6.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$

Этап 6.3.5

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Перепишем $\frac{\ln ({| x |}^{60})}{77}$ в виде $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ .

$V = \sqrt[3]{- (\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})) + 3 C}$

Этап 6.3.5.2

Упростим $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ путем переноса $\frac{1}{77}$ под логарифм.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}) + 3 C}$

Этап 6.3.5.3

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{60 (\frac{1}{77})}) + 3 C}$

Этап 6.3.5.3.2

Объединим $60$ и $\frac{1}{77}$ .

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + 3 C}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$