Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 4 \int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.3.3

Объединим $\frac{u_{1}}{2}$ и $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.6

Пусть $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Пусть $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Дифференцируем $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Этап 2.3.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 2.3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Этап 2.3.6.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Этап 2.3.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.7.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Этап 2.3.9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.11.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.11.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.11.3

Умножим $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.12

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- {u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2}} + K$