Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 5 e^{\cos (x)}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 5 e^{\cos (x)}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 5 e^{\cos (x)}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Этап 2.2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sin (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Этап 3.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Этап 3.2.2

Выразим $\sin (x) (\cot (x) y)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Этап 3.2.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (x) y = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) y = 5 \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 7.2

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 7.2.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\sin (x) y = 5 \int - e^{u} d u$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) y = 5 (- \int e^{u} d u)$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\sin (x) y = - 5 \int e^{u} d u$

Этап 7.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\sin (x) y = - 5 (e^{u} + C)$

Этап 7.6

Упростим.

$\sin (x) y = - 5 e^{u} + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.2

Разделим дроби.

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Этап 8.3.1.4

Разделим $C$ на $1$ .

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + C \csc (x)$