Математический анализ Примеры

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x^{2} \ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Тогда $d u = \frac{1}{y} d y$ , следовательно $y d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = \ln (y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 4.2.1.1.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Этап 4.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Этап 5.2

Перепишем $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Этап 5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Этап 5.3.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Этап 5.3.2.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Этап 5.3.2.4

Перепишем уравнение в виде $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $e^{- 3 x + C}$ в виде $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{- 3 x}$ и $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Этап 6.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$