Математический анализ Примеры

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d t}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $t y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $t^{2} \frac{d y}{d t}$ из $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $t^{2} \frac{d y}{d t}$ из $t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $t^{2} \frac{d y}{d t}$ из $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $t^{2} \frac{d y}{d t}$ из $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ на $t^{2} (1 - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ на $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.2.2

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.3.1.2

Сократим общий множитель $t$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $t$ из $- t y^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

Этап 1.1.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Этап 1.1.4.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Этап 1.1.4.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

Этап 1.1.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Изменим порядок $1$ и $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Этап 1.2.1.1.2

Изменим порядок $1$ и $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Этап 1.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

Этап 1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- y + 1) t^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

Этап 1.2.3.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

Этап 1.2.3.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

Этап 1.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

Этап 1.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Этап 1.2.5

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + y^{2} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Этап 1.2.5.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Этап 1.2.5.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Этап 1.2.5.4

Умножим $y^{2}$ на $1 + t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ на $\frac{1 + t}{t^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $- y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $- y + 1$ из $- (- y + 1)$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $- y + 1$ из $(- y + 1) t^{2}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

Этап 1.5.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Этап 1.5.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Этап 1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.2

Умножим $(- y + 1) y^{- 2}$ .

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $y$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перенесем $y^{- 2}$ .

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $y^{- 2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3.1.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3.2

Умножим $y^{- 2}$ на $1$ .

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.6

Интеграл $y^{- 1}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.7

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.8

Упростим.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.9

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Этап 2.3.3

Умножим $(1 + t) t^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $t^{- 2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Этап 2.3.4.2

Умножим $t$ на $t^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $t$ на $t^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Этап 2.3.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Этап 2.3.4.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Этап 2.3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

Этап 2.3.7

Интеграл $t^{- 1}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

Этап 2.3.8

Упростим.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$